一道重庆市中考数学题，及其背后的组合意义

给小娃儿补中考数学的时候做到今年重庆中考数学题

[2024 重庆] 已知整式 $ M: \sum_{k=0}^{n}a_kx^k $ ，其中 $n,a_0,…,a_{n-1}\in N$，$a_n \in N^+$，且 $n+\sum_{k=0}^{n}a_k=5$，求满足条件的 $M$ 的数量。

答案是 16，枚举易得。但是我发现这个题可以拓展一下，考虑变式：

已知整式 $M: \sum_{k=0}^{n}a_kx^k$ ，其中 $n,a_0,…,a_{n-1}\in N$，$a_n \in N^+$，且 $n+\sum_{k=0}^{n}a_k=t$，求满足条件的 $M$​ 的数量，答案是 $2^{t-1}$。

我们不难发现：$0\le n \le t-1$ ，考虑固定 $n=n_0$ 时满足条件的 $M$ 的数量，要求：$\sum_{k=0}^{n_0}a_k=t-n_0$​

其中 $a_n \ge 1$ ，其他的取自然数就可以了。问题等价于 $\forall k\in{0,1,…n_0},a_k \ge 1$ 且 $\sum_{k=0}^{n_0}a_k=t$ 时 ${a_k}$​ 的方案数。

利用插板法求解。不难发现固定 $n=n_0$ 的时候 $M$ 的数量，也就是 ${a_k}$ 的方案数有 $C_{t-1}^{n_0}$ 个。

所以总的方案数为 $\sum_{n=0}^{t-1} C_{t-1}^n=2^{t-1}$ （二项式定理）